Se entiende por método de integración a la integral de las diferentes técnicas elementales usadas (a veces de forma combinada) para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, a una función f(x), un método de integración nos permite encontrar otra función F(x) tal que:

$F(x)=\int f(x)\,{\mathrm {d}}x$ ,

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) sea su derivada:^{n 1}

${\frac {d\,F(x)}{dx}}=f(x)$

$Generalidades$

El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más elaborado que el problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) tal que:

$F(x)=\int e^{{-x^{2}}}dx$

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse los métodos de integración correspondientes.

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto requiere conocer de antemano una función F(x) que sea el resultado de la antiderivada de f(x). Para ello se puede disponer de tablas como las presentadas a continuación:

Funciones analíticas

El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que:

$f(x)=\sum _{{m=0}}^{\infty }a_{m}(x-x_{0})^{m},\qquad F(x)=\int f(x)\ dx=\sum _{{m=0}}^{\infty }{\frac {a_{m}}{m+1}}(x-x_{0})^{{m+1}}+C$

Método de integración por sustitución

\int _{h(a)}^{h(b)}f(u)du=\int _{a}^{b}f(h(x))h'(x)dx

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Ejemplo #1

Suponiendo que la integral a resolver es:

\scriptstyle 2x^{2}+3

\int _{{-2}}^{3}x\cos(2x^{2}+3)dx\approx 0,4591614613\dots

En la integral se reemplaza

con

\scriptstyle u=u(x)

:

)

$\int _{{-2}}^{3}x\cos(u(x))dx$

Ahora se necesita sustituir también

\scriptstyle dx

para que la integral quede solo en función de

\scriptstyle u

:

Se tiene que

\scriptstyle 2x^{2}+3=u

por tanto derivando se obtiene

\scriptstyle 4xdx=du

. A continuación se despeja

\scriptstyle dx={\frac {du}{4x}}

y se agrega donde corresponde en (1):

\int _{{11}}^{{21}}x\cos(u){\frac {du}{4x}}

Simplificando:

\int _{{11}}^{{21}}\cos(u){\frac {du}{4}}

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo

\ u=2x^{2}+3

:

$u_{1}=2(-2)^{2}+3=11\,\!$ (límite inferior)

$u_{2}=2(3)^{2}+3=21\,\!$ (límite superior)

Tras realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

${\frac {1}{4}}\int _{{11}}^{{21}}\cos(u)du={\frac {1}{4}}(\sin(21)-\sin(11))$

Ejemplo #2

Suponiendo ahora que la integral a resolver es:

\int {\frac {1}{5+3\cos(x)}}dx

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase:

\ \sin(x)

y

\ \cos(x)

la sustitución conveniente resulta ser

\ u=\tan(x/2)

:

\ \sin(x/2)={\frac {u}{{\sqrt {1+u^{2}}}}}

,

\ \cos(x/2)={\frac {1}{{\sqrt {1+u^{2}}}}}

Entonces (por Teorema de la suma y la resta)

\ \cos(x)=\cos ^{2}(x/2)-\sin ^{2}(x/2)={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}

por otra parte

\ du={\frac {1}{2}}\sec ^{2}(x/2)dx

o

\ dx=2\cos ^{2}(x/2)du={\frac {2du}{1+u^{2}}}

la integral queda después de dicha sustitución:

\int {\frac {du}{u^{2}+4}}={\frac {1}{2}}\arctan(u/2)+c={\frac {1}{2}}\arctan({\frac {1}{2}}\tan(x/2))+c

Método de integración por partes

En el cálculo y en general en el análisis matemático, integración por partes es el proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas. Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada, por lo cual, una solución puede ser hallada más fácilmente.

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

si

u

=

u (x)

y

du

=

u'(x) dx

,a la vez

v

=

v (x)

y

dv

=

v'(x) dx

, entonces la integración por partes seria :

{\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}

o de manera resumida :

\int u\,dv=uv-\int v\,du.\!

o también de la siguiente manera :

$\int _{a}^{b}udv=\left.uv\right\|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}vdu$ .

Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función u de acuerdo con el orden, ayudándose de la regla nemotécnica "ILATE":

Inversa trigonométrica: $\arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),$ etc
Logarítmica: $\ln(x),\ \log _{b}(x),$ etc
Algebraica o polinómica: $x^{2},\ 3x^{50},$ etc
Trigonométrica: $\sin(x),\ \tan(x),$ etc
Exponencial: $e^{x},\ 19^{x},$ etc

Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica y exponencial. Si seguimos esta otra recomendación podemos usar la regla mnemotecnia ALPES, asignándole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparición:

Arcoseno(y cualquier trigonométrica inversa)
Logarítmica
Polinómica
Exponencial
Seno/coseno(y cualquier trigonométrica)

Fórmulas más generales de integración por partes existen en Integral de Riemann-Stieltjes y Integración de Lebesgue–Stieltjes.

Teorema

Producto de dos funciones

El teorema puede ser derivado de la manera siguiente . supongamos que u(x) y v(x) son dos funciones continuas diferenciables. Regla del producto queda (en Notación de Leibniz):

{\frac {d}{dx}}{\Big (}u(x)v(x){\Big )}=v(x){\frac {d}{dx}}\left(u(x)\right)+u(x){\frac {d}{dx}}\left(v(x)\right).\!

integrando ambas partes con respecto a x

\int {\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx

luego aplicando la definición de integral definida

u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx

\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx

nos da como resultado la fórmula de integración por partes.

como du y dv son "diferencial de una función" de una variable x,

du=u'(x)dx\quad dv=v'(x)dx

\int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du

La integral original

\int u(x)v'(x)dx

contiene

v'(x)

(derivada de

v(x)

); para poder aplicar el teorema,

v(x)

(antiderivada de

v'(x)

) debe ser encontrado, entonces la integral resultante

\int u'(x)v(x)dx

debe ser evaluada.

Ejemplos

I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .

hacemos:

u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}

dv=dx\ \Rightarrow \ v=x

luego:

{\begin{aligned}\int \ln(x)\ dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\ dx\\&=x\ln(x)-\int 1\ dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}

donde C es la constante de integración .

El segundo ejemplo es sobre funciones inversas trigonometricas:

I=\int \arctan(x)\ dx.

reescribimos la integral de la siguiente manera :

\int \arctan(x)\cdot 1\ dx.

Ahora hacemos:

u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}

dv=dx\ \Rightarrow \ v=x

entonces :

{\begin{aligned}\int \arctan(x)\ dx&=x\cdot \arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\ dx\\[8pt]&=x\cdot \arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}

usando una combinación entre el método inverso de la cadena e integración de Logaritmo natural.

Método de integración por cambio de variables

El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si

u

es la variable original y

v=\phi (u)

es una función invertible, se tiene:

$\int _{a}^{b}f(u)\ du=\int _{{\phi (a)}}^{{\phi (b)}}(f\circ \phi ^{{-1}})(v)\left({\frac {d\phi ^{{-1}}(v)}{dv}}\right)^{{-1}}dv$

Integrales de funciones trigonométricas

Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso puede lograrse gracias a las siguientes identidades:

${\begin{matrix}\cos ^{{2n+1}}x=\left({\frac {e^{{ix}}+e^{{-ix}}}{2}}\right)^{{2n+1}}={\cfrac {1}{2^{{2n}}}}\sum _{{k=0}}^{n}{\begin{pmatrix}2n+1\\k\end{pmatrix}}\cos {((2n+1)-2k)x}\\\cos ^{{2n}}x=\left({\frac {e^{{ix}}+e^{{-ix}}}{2}}\right)^{{2n}}={\cfrac {1}{2^{{2n}}}}{\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}+\ {\cfrac {2}{2^{{2n}}}}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}{\begin{pmatrix}2n\\k\end{pmatrix}}\cos {(2n-2k)x}\end{matrix}}$

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de múltiplos de ángulos:

${\begin{matrix}{\begin{cases}\cos ^{2}x={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(2x)\\\cos ^{4}x={\frac {3}{8}}+{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{8}}\cos(4x)\\\dots \end{cases}}{\begin{cases}\cos ^{3}x={\frac {3}{4}}\cos(x)+{\frac {1}{4}}\cos(3x)\\\cos ^{5}x={\frac {5}{8}}\cos x+{\frac {5}{16}}\cos(3x)+{\frac {1}{16}}\cos(5x)\\\dots \end{cases}}\end{matrix}}$

Integral que contiene potencias de senos y cosenos $\int \sin ^{n}(x)\cos ^{m}(x)dx$

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene solo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o solo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad $\sin ^{2}x$ $+$ $\cos ^{2}x$ $=$ $1$ permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Existen 3 casos:

Cuando n es impar

Cuando

\scriptstyle n=2k+1

, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad

\sin ^{{2}}x=1-\cos ^{{2}}x

para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

$\int \sin ^{{2k+1}}x\cos ^{{m}}xdx$

$\int \sin ^{{2k}}x\cos ^{{m}}x\sin xdx$

$\int (\sin ^{{2}}x)^{{k}}\cos ^{{m}}x\sin xdx$

$\int (1-\cos ^{{2}}x)^{{k}}\cos ^{{m}}x\sin xdx$

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo

u=\cos(x)

,

du=-\sin(x)dx

. Como en la expresión no tenemos un

-\sin(x)dx

multiplicamos ambos lados por

(-1)

y nos queda la expresión

-du=\sin(x)dx

que ya podemos sustituir:

$-\int (1-u^{{2}})^{{k}}u^{{m}}du$

Cuando m es impar

Cuando

m=2k+1

, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear

\cos ^{{2}}x=1-\sin ^{{2}}x

para poder expresar los factores restantes en términos del

\sin x

:

$\int \sin ^{{n}}x\cos ^{{2k+1}}xdx$

$\int \sin ^{{n}}x\cos ^{{2k}}x\;\cos xdx$

$\int \sin ^{{n}}x\;(\cos ^{{2}}x)^{{k}}\;\cos xdx$

$\int \sin ^{{n}}x\;(1-\sin ^{{2}}x)^{{k}}\;\cos xdx$

al hacer

u=\sin x

y

du=\cos xdx

tendríamos

\int u^{{n}}\;(1-u^{{2}})^{{k}}du

Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez

n=2k

y

m=2p

, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo:

\sin ^{{2}}x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos 2x

\cos ^{{2}}x={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos 2x

algunas veces es útil usar la identidad:

$\sin x\;\cos x={\frac {1}{2}}\sin 2x$

$\int \cos ^{{2p}}x\;\sin ^{{2k}}xdx$

$\int (\cos ^{{2}}x)^{{p}}\;(\sin ^{{2}}x)^{{k}}dx$

sería igual a:

\int [{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos 2x]^{{p}}\;[{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos 2x]^{{k}}dx

Ejemplo #1

$\int \sin ^{5}x\;\cos ^{2}xdx.$

Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,

$\sin ^{5}x\;\cos ^{2}x=(\sin ^{2}x)^{2}\;\cos ^{2}x\;\sin x=(1-\cos ^{2}x)^{2}\;\cos ^{2}x\;\sin x$

Sustituyendo

u=\cos x

, tenemos

du=-\sin xdx

luego:

${\begin{matrix}\int \sin ^{5}x\cos ^{2}xdx=\int \sin ^{4}x\cos ^{2}x\sin x\ dx=\\\int (1-\cos ^{2}x)^{2}\cos ^{2}x\sin x\ dx=\\\int (1-u^{2})^{2}\;u^{2}\;(-du)=-\int (u^{2}-2u^{4}+u^{6})du=\\-({\frac {u^{3}}{3}}-{\frac {2u^{5}}{5}}+{\frac {u^{7}}{7}})+C=\\-{\frac {1}{3}}\cos ^{3}x+{\frac {2}{5}}\cos ^{5}x-{\frac {1}{7}}\cos ^{7}x+C\end{matrix}}$

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes $\int \sec ^{{n}}x\tan ^{{m}}xdx$

Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

\left({\frac {d}{dx}}\right)\tan x=\sec ^{2}x

, se puede separar un factor

\sec ^{2}x

y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad

\sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x

.

O bien, puesto que:

{\frac {d}{dx}}\sec x=\sec x\tan x

, se puede separar un factor

\sec x\tan x

y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Existen 3 casos:

Cuando n es par

n=2k

separar un factor de

\sec ^{{2}}x

y utilice

\sec ^{{2}}x=1+\tan ^{{2}}x

para lograr expresar los factores restantes en términos de

\tan x

:

$\int \sec ^{{2k}}x\;\tan ^{{m}}xdx$

$\int \sec ^{{2k-2}}x\;\tan ^{{m}}x\;\sec ^{{2}}xdx$

$\int (\sec ^{{2}}x)^{{k-1}}\;\tan ^{{m}}x\;\sec ^{{2}}xdx$

$\int [1+\tan ^{{2}}x]^{{k-1}}\;\tan ^{{m}}x\;\sec ^{{2}}xdx$

de esta manera podemos hacer

u=\tan x

y

du=sec^{{2}}xdx

y el integral quedaría así:

$\int [1+u^{{2}}]^{{k-1}}\;u^{m}du$

Cuando m es impar

m=2k+1

apartar un factor de

\sec x\tan x

y emplear

\tan ^{{2}}x=\sec ^{{2}}x-1

para poder expresar los factores que restan en términos de

\sec x

:

\int \sec ^{{n}}x\;\tan ^{{2k+1}}x\ dx

\int \sec ^{{n-1}}x\;\tan ^{{2k}}x\;\sec x\;\tan x\ dx

\int \sec ^{{n-1}}x\;(\sec ^{{2}}x-1)^{{k}}\;\sec x\;\tan x\ dx

de esta manera se puede hacer

u=\sec x

y

du=\sec x\;\tan x\;dx

, con lo que queda

\int u^{{n-1}}\;(u^{2}-1)^{{k}}du

La tangente tiene potencia par $\int \tan ^{{2k}}xdx$

\int \tan ^{{2k-2}}x\;\tan ^{{2}}xdx

\int \tan ^{{2k-2}}x\;(\sec ^{{2}}x-1)dx

\int \tan ^{{2k-2}}x\;\sec ^{{2}}xdx-\int \tan ^{{2k-2}}xdx

La Secante tiene potencia impar $\int sec^{{2k+1}}xdx$

En este caso se procede a integrar por partes.

Ninguno de los anteriores

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores, se traslada a

\scriptstyle \sin x

y

\scriptstyle \cos x

, recordando que:

$\sec x={\frac {1}{\cos x}},\qquad \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocasionalmente, un poco de inventiva.

A veces será necesario poder integrar $\tan x$ por medio de la fórmula establecida:

\int \tan x\ dx=-\ln |\cos \ x|+C

Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

\int \sec x\ dx=\ln |\sec \ x+\tan \ x|+C

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por

\sec x+\tan x

:

\int \sec xdx=\int \sec x{\frac {\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}}dx=\int {\frac {\sec ^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}}dx

Si se sustituye

u=\sec x+\tan x

, después

du=(\sec x\tan x+\sec ^{2}x)dx

, también, la integral se convierte en:

\int {\frac {du}{u}}=\ln |u|+C

Así, se tiene:

\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C

NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:

\csc ^{{2}}x=1+\cot ^{{2}}x

Reducción a funciones racionales

Si el integrando puede expresar como una función racional de funciones trigonométicas:

(*)

$\int R(\sin(x),\cos(x))\ dx,\qquad R(x,y)={\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}},\ P,Q\in \mathbb{R} [x,y]$

Entonces el cambio:

$t:=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\Rightarrow \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}},\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

permite reescribir la integral (*) como:

$2\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\ {\frac {dt}{1+t^{2}}}$

Que resulta ser una función racional, y por tanto, de integración mecánica.

Integrales de funciones racionales

Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}},\qquad P(x),Q(x)\in \mathbb{R} [x]$

Si el denominador es un polinómico mónico

\scriptstyle Q(x)

con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

${\begin{cases}Q(x)=(x-r_{1})^{{m_{1}}}(x-r_{2})^{{m_{2}}}\dots (x-r_{k})^{{m_{k}}}(x^{2}+s_{1}x+t_{1})^{{n_{1}}}\dots (x^{2}+s_{l}x+t_{l})^{{n_{l}}}\\k,l,m_{i},n_{j}\in {\mathbb {N}},\ r_{p},s_{p},t_{p}\in \mathbb{R} \end{cases}}$

Si

\scriptstyle {\mbox{gr}}(P)<{\mbox{gr}}(Q)

entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

${\begin{matrix}f_{1}(x)={\cfrac {1}{(x-r_{i})}}&f_{2}(x)={\cfrac {1}{(x-r_{i})^{{u}}}}\\f_{3}(x)={\cfrac {1}{x^{2}+a^{2}}}&f_{4}(x)={\cfrac {1}{(x^{2}+a^{2})^{{v}}}}\\f_{5}(x)={\cfrac {x}{x^{2}+a^{2}}}&f_{6}(x)={\cfrac {x}{(x^{2}+a^{2})^{{w}}}}\end{matrix}}$

Por lo que la integral de la función

\scriptstyle f(x)

es una combinación lineal de funciones de la forma:

${\begin{matrix}F_{1}(x)=\ln(x-r_{i})&F_{2}(x)={\cfrac {1-u}{(x-r_{i})^{{u-1}}}}\\F_{3}(x)={\cfrac {1}{a}}\arctan {\cfrac {x}{a}}&F_{4}(x)={\cfrac {1}{2a^{2}}}\left({\cfrac {x}{(v-1)(x^{2}+a^{2})^{{v-1}}}}+{\cfrac {2v-3}{v-1}}\int {\cfrac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{{v-1}}}}\right)\\F_{5}(x)={\cfrac {1}{2}}\ln(x^{2}+a^{2})&F_{6}(x)={\cfrac {-1}{2(w-1)(x^{2}+a^{2})^{{w-1}}}}\end{matrix}}$

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.

Integración numérica

Artículo principal: Integración numérica

La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza

¿PARA QUE SON NECESARIOS LOS METODOS DE INTEGRACION?

Uno de los dos procedimientos más habituales para la resolución de integrales complicadas es el llamado método de sustitución o de cambio de variable. Esta técnica consiste en introducir una nueva variable t para sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Por ejemplo, la integral:

se simplifica notablemente si se aplica el cambio t = sen x. Entonces, se cumpliría que dt = cos x dx, con lo que la integral quedaría reducida a:

Finalmente se desharía el cambio de variable, con lo que el resultado final sería:

Integración por partes

El método de la integración por partes se emplea para simplificar el cálculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como del tipo u (x) × v¿ (x). La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

Este método resulta indicado particularmente cuando v × du es más fácil de integrar que u × dv.

Cálculo de áreas

La integral de una función continua entre los dos extremos de un intervalo [a, b] y tal que f (x) ³ 0 " x Î [a, b] coincide con el área comprendida entre dicha función, el eje horizontal y las dos rectas que delimitan los intervalos, de ecuaciones x = a y x = b.

Este principio puede servir también para calcular las áreas comprendidas entre curvas, por simples operaciones aritméticas de adición y sustracción.

La integral de f (x) en el intervalo [a, b] coincide con el valor del área R.

Por convenio, dicha área se dice que es positiva cuando f (x) ³ 0 en el intervalo, y negativa si f £ 0 en [a, b]. Cuando la función tiene signo variable, las partes de la misma situadas por encima del eje horizontal añadirán valor positivo al área global, y las que discurran por debajo sumarán valores negativos a la misma.

Áreas formadas por dos curvas. Por consideraciones geométricas, el área de la intersección se calcula restando a la integral de f (x) en el intervalo [-1, 1] el valor de la integral de g (x) para ese mismo intervalo.

Integración numérica

En ocasiones, el cálculo de una integral definida en un intervalo resulta tan complicado que se hace casi irresoluble. En estos casos, se puede aplicar un método de integración numérica aproximada, consistente en dividir el intervalo de definición en un conjunto de subintervalos iguales, de manera que se trazan sus imágenes sobre la curva y se unen todos puntos imagen mediante segmentos rectilíneos.

Siendo f (x) la función de origen, y [a, b] el intervalo de integración, que se puede dividir en n subintervalos iguales de amplitud h tales que a = x0 < x1 < x2 < ¿ << xn = b, la región limitada por la curva de f (x) puede obtenerse aproximadamente a partir de la siguiente expresión:

Esta ley se llama regla de los trapecios. Evidentemente, cuanto mayor es el número de intervalos escogido, más cerca estará el valor obtenido del área real situada bajo la curva.

Aproximación del área de una función por integración numérica.

¿QUE SIGNIFICA INTEGRAR POR PARTES ?

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Integral definida

Dada una función $f(x)$ y un intervalo $\left [ a,b \right ]$ , la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de $f(x)$ , el eje de abscisas, y las rectas verticales $x = a$ y $x = b$ .

La integral definida se representa por $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx$ .
$\displaystyle \int$ es el signo de integración.
a es el límite inferior de la integración.
b es el límite superior de la integración.
$f(x)$ es el integrando o función a integrar.
$dx$ es diferencial de $x$ , e indica cuál es la variable de la

función que se integra.

¿PARA QUE SIRVE CALCULAR LA INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION?

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Función integral

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:

donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

Interpretación geométrica de la función integral o función área.

Teorema fundamental del cálculo integral

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).
Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

¿EN QUE CONSISTE LA SUMA DE RIEMANN?

En matemáticas, la suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

¿COMO SE RELACIONA LA INTEGRAL DEFINIDA CON LA SUMA DE RIMANN ?

La integral definida como el límite de una suma de Riemann

Las sumas de Riemann nos ayudan a aproximar integrales definidas, y también nos ayudan a definirlas formalmente. Aprende cómo se logra esto y cómo podemos movernos entre la representación del área como integral definida y como suma de Riemann.

Las integrales definidas representan el área bajo la curva de una función, y las sumas de Riemann nos ayudan a aproximar esas áreas. La pregunta es: ¿hay una manera de encontrar el valor exacto de una integral definida?

Sumas de Riemann con un número "infinito" de rectángulos

Imagina que queremos encontrar el área bajo la gráfica de

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared entre x, equals, 2 y x, equals, 6.

Usando la notación de integral definida, podemos representar el área exacta como:

integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x

Podemos aproximar esta área mediante sumas de Riemann. Sea

R, left parenthesis, n, right parenthesis la aproximación por suma de Riemann derecha con n subdivisiones (es decir, n rectángulos de ancho igual).

Por ejemplo, la gráfica muestra

R, left parenthesis, 4, right parenthesis. Puedes observar que es una sobrestimación del área real.

Podemos mejorar nuestra aproximación al dividir nuestra área en más rectángulos con bases menores, es decir, al usar

R, left parenthesis, n, right parenthesis con valores mayores de n.

Puedes observar cómo la aproximación se acerca más al área real conforme el número de rectángulos va de

1 a 100:

Por supuesto, usar aún más rectángulos nos acercará aún más, pero una aproximación siempre es solo una aproximación.

¿Qué tal que pudiéramos considerar una suma de Riemann con un número infinito de subdivisiones iguales? ¿Acaso es eso posible? Bueno, no podemos tomar

n, equals, infinity porque el infinito no es un número, pero tal vez recuerdes que tenemos una forma de llevar algo a infinito...

¡Límites!

Específicamente, este límite:

limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, R, left parenthesis, n, right parenthesis

Por definición, la integral definida es el límite de la suma de Riemann

El ejemplo anterior es un caso específico de la definición general de una integral definida:

La integral definida de una función continua

f en el intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket, denotada por

integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, es igual al límite de una suma de Riemann conforme el número de subdivisiones tiende a infinito. Es decir,

integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10

donde

start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction y

start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.

¿ QUE ES SOLIDO DE REVOLUCION?

Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que es contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

METODOS PARA CALCULAR SOLIDOS DE REVOLUCION

CARACTERÍSTICAS Y ELEMENTOS DE LOS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

1. Eje de Revolución

2. Superficie de Revolución (al girar una línea recta o curva alrededor de un eje).

3. Generatriz (línea que genera la superficie)

4. Paralelos de la superficie (circunferencias perpendiculares al eje)

5. Meridianos (planos que contienen al eje y cortan la superficie.

6. Sólido de revolución (contenido en la superficie de revolución)

CARACTERÍSTICAS Y ELEMENTOS DE LOS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

1. Tiene superficies curvas.

2. Tiene infinitos planos de simetría que contienen al eje.

3. No tiene aristas y por lo tanto, sus superficies no son polígonos.

4. Son generados por una figura plana que gira ,sobre un lado recto que hace de eje de simetría.

5. Si la figura que lo genera , tiene un segmento perpendicular al eje, genera una cara circular.

6. Si la figura que lo genera ,tiene un segmento diagonal al eje, genera una zona cónica.

7. Si la figura que lo genera tiene un segmento paralelo al eje, genera una zona cilíndrica.

8. Si la figura que lo genera , tiene media circunferencia, genera una zona esférica o semiesférica, de acuerdo con la posición de la semicircunferencia.

9. Una figura genera un sólido diferente si cambia el eje de rotación.

Cualquier plano que pase por el centro de una esfera es un plano de simetría; y cualquier diámetro de la esfera es un eje de rotación.

10. Hay sólidos de revolución con un plano de simetría perpendicular al eje de rotación .

11. Hay sólidos de revolución sin otros planos de simetría .

Hay S de R con un plano de simetría perpendicular al eje de rotación e infinitos planos de simetría oblicuos al eje de rotación.
actividad No. 3

1.- ¿POR QUE ES IMPORTANTE EL MANEJO DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES?

Por qué de tal manera se facilita a resolver problemas, ya que con ella se aplican formulas y términos generales de la trigonometría

2.- ¿POR QUUE ES IMPORTANTE PARA ESTE CURSO CONOCER LA DERIVADA DE FUNCIONES TRIGOMERICAS?

Es necesario ya que por lo general hay problemas que contienen derivadas constante

3.- ¿ES IMPREDECIBLE EL USO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS? ¿POR QUE?

Por qué en lo general el uso de la trigonometría es indispensable ya que en estas ecuaciones es fundamental

4.- ¿QUÉ OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CONOCES? Relación seno – coseno.

Relación secante – tangente. , Relación cosecante – cotangente.

Cosecante, Secante, Cotangente, Paso de suma a producto.

Paso de producto a suma.

5.- ¿CÓMO CREES QUE AYUDARA CONOCER IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EN LA SOLUCIÓN DE LAS INTEGRALES?

Bueno a partir de las formulas se utiliza cosecante, tangente secante entre otros en los que se relacionan en la solución de dichas ecuaciones

Actividad .-

ACTIVIDAD No. 4

clic aqui

ejemplos

viernes, 1 de mayo de 2020

ACTIVIDAD 1.-

¿Cuales son los Métodos de integración?

Integración directa

Funciones analíticas

Método de integración por sustitución

Ejemplo #1

Ejemplo #2

Método de integración por partes

Teorema

Producto de dos funciones

Ejemplos

Método de integración por cambio de variables

Integrales de funciones trigonométricas

Integral que contiene potencias de senos y cosenos

Cuando n es impar

Cuando m es impar

Cuando m y n son pares

Ejemplo #1

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes

Cuando n es par

Cuando m es impar

La tangente tiene potencia par

La Secante tiene potencia impar

Ninguno de los anteriores

Reducción a funciones racionales

Integrales de funciones racionales

Integración numérica

Integración por partes

Cálculo de áreas

Integración numérica

Integral definida

Propiedades de la integral definida

Función integral

Teorema fundamental del cálculo integral

La integral definida como el límite de una suma de Riemann

Sumas de Riemann con un número "infinito" de rectángulos

Por definición, la integral definida es el límite de la suma de Riemann

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Integral que contiene potencias de senos y cosenos $\int \sin ^{n}(x)\cos ^{m}(x)dx$

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes $\int \sec ^{{n}}x\tan ^{{m}}xdx$

La tangente tiene potencia par $\int \tan ^{{2k}}xdx$

La Secante tiene potencia impar $\int sec^{{2k+1}}xdx$